Při studiu matematiky je důležité to udělat s následující perspektivou.
Matematici umožňují nepoužitelné nevypočitatelné fantasy objekty
Matematici se často rozhodnou žít ve světě, kde je axiom volba platí pro množiny velikosti kontinua. To je idiot z mnoha důvodů, dokonce i pro ně, ale je to idiot zvláště pro fyziku. Existují jednoduché intuitivní argumenty, které určují, že každá sada má objem nebo Lebesgueovu míru, a fungují takto:
Vzhledem k libovolné sadě S ve velkém poli B si náhodně vyberte body a zvažte, kdy přistanou S. V limitu mnoha hodů definujte míru S jako objem B krát zlomek bodů, které dopadnou na S. Když to funguje a vždy to funguje, každá sada je měřitelná .
Tato definice není v matematice povolena, protože koncept náhodného výběru bodu vyžaduje převzetí limitu náhodného procesu náhodného výběru číslic. Omezující náhodný proces musí být definován odděleně od aproximačních procesů v běžné matematice, i když aproximace téměř vždy konvergují k jedinečné odpovědi! Jediným důvodem je to, že existují axiomy konstrukcí výběru neměřitelných množin, takže výše uvedenému argumentu nelze dovolit projít. To vede k mnoha těžkopádným konvencím, které brání porozumění.
Pokud čtete matematiku, mějte vzadu v hlavě, že každá množina reálných čísel je skutečně měřitelná, že každá pořadová čísla je skutečně spočetná (dokonce i ta, která se ve skutečných modelech teorie množin předstírají, že jsou nespočetná, se zhroutí na spočetná. ), a že všechny fantazijní výsledky matematiky pocházejí z mapování reálných čísel na pořadové číslo. Když namapujete reálná čísla na ordinální, předstíráte, že nějaký model teorie množin, který lze tajně spočítat Skolemovou větou, obsahuje všechna reálná čísla. To způsobí, že sadu reálných čísel lze tajně spočítat. To nevede k paradoxu, pokud si nedovolíte náhodně vybrat reálná čísla, protože všechna reálná čísla, pro která můžete vytvořit symboly, jsou spočítatelná, protože existuje jen spočetných mnoho symbolů. Pokud ale odhalíte tuto počitatelnost připuštěním symbolu, který představuje mapu jedna k jedné mezi řadovými a reálnými čísly, získáte Vitaliho věty o neměřitelných množinách. Tyto věty nemohou nikdy ovlivnit fyziku, protože tyto „věty“ jsou nepravdivé v každé skutečné interpretaci, dokonce i v rámci matematiky.
Z tohoto důvodu můžete v zásadě ignorovat následující:
- Pokročilá topologie množiny bodů --- netriviální výsledky topologie množiny bodů jsou k ničemu, protože často analyzují strukturu volby kontinua. Triviální výsledky jsou jen opakováním elementárních vlastností spojitosti v teoretickém jazyce množiny. Celé pole je v bankrotu. Jedinou užitečnou věcí v ní je studium topologií na diskrétních množinách.
- Elementární teorie míry: zatímco pokročilá teorie míry (pravděpodobnost) je velmi důležitá, základní léčba teorie míry se v zásadě týká fantazie. že existují neměřitelné množiny. Nikdy byste neměli prokázat, že je sada měřitelná, protože všechny sady jsou měřitelné. Tuto část knihy ignorujte a přeskočte přímo na pokročilé části.
Diskrétní matematika je důležitá
Pro fyziky je to zpočátku trochu obtížné pochopit, protože si představují, že fyzika vyžaduje pouze spojitou matematiku. To je spousta nesmyslů. Skutečná práce v matematice spočívá v diskrétních výsledcích, průběžné výsledky jsou často jen bledými stíny mnohem hlubších kombinačních vztahů.
Důvodem je to, že kontinuum je definováno omezujícím procesem, kde si vezmete nějaký druh diskrétní struktury a dokončete ji. Můžete si vzít mřížku a udělat ji jemnější, nebo si můžete vzít racionální a zvážit Dedekindovy škrty, nebo si můžete vzít desítková rozšíření nebo Cauchyovy sekvence nebo cokoli jiného. Vždy je to prostřednictvím diskrétní struktury, která je dokončena.
To znamená, že každá relace na reálných číslech je ve skutečnosti relací na diskrétních strukturách, která platí v limitu. Například řešení diferenciální rovnice
$$ {d ^ 2x \ over dt ^ 2} = - x ^ 2 $$
je ve skutečnosti asymptotický vztah pro řešení z následujících diskrétních aproximací
$$ \ Delta ^ 2 X_n = - \ epsilon x_n ^ 2 $$
Jde samozřejmě o to, že mnoho různých diskrétních aproximací poskytuje stejné přesný objekt kontinua. Tomu se v matematice říká „existence limitu kontinua“, ale ve statistické fyzice se tomu říká „univerzálnost“.
Při studiu diferenciálních rovnic jsou diskrétní struktury příliš základní na to, aby si je lidé pamatovali. Ale v teorii kvantového pole právě teď neexistuje definice kontinua. Musíme kvantově definovat teorii kvantového pole nějakým druhem mřížkového modelu (to bude vždy pravda, ale v budoucnu lidé zamaskují základní diskrétní strukturu, aby zdůraznili univerzální asymptotické vztahy, jak to dělají pro diferenciální rovnice). Mějte tedy na paměti překlad mezi spojitými a asymptotickými diskrétními výsledky a že diskrétní výsledky jsou ve skutečnosti těmi zásadnějšími.
Takže proveďte co nejvíce:
- Teorie grafů: zejména výsledky spojené se školou Erdos
- Diskrétní teorie grup: to je také důležité, i když pokročilé části nikdy nepřijdou.
- Kombinatorika: asymptotické výsledky jsou zásadní.
- Pravděpodobnost: Toto je nejtěžší doporučit, protože literatura je tak nejasná. Ale co můžete dělat? Potřebujete to.
Nestudujte matematické verze věcí, které byly poprvé vyvinuty ve fyzice
Matematici neodvedli dobrou práci s překladem matematiky vyvinuté ve fyzice do matematiky. Následující pole matematiky lze tedy ignorovat:
- Obecná teorie relativity: Přečtěte si fyziky, ignorujte matematiky. Nemají co říct.
- Stochastické procesy: Přečtěte si fyziky, ignorujte matematiky. Ve skutečnosti nerozumí integrálům cest, takže nemají co říct. Užitečnost toho pro financování měla neblahý účinek, protože knihy byly záměrně zahmleny, aby zamaskovaly základní výsledky. Všechny výsledky jsou v literatuře fyziky někde v nejužitečnější formě.
- Kvantová pole: Přečtěte si fyziky, zejména Wilsona, Polyakova, Parisiho a tuto generaci. opravdu vyřešili problém. Matematici jsou k ničemu. Connes-Kreimer jsou výjimkou z tohoto pravidla, ale také přinášejí zpět k životním výsledkům Zimmermanna, což podle mě nikdo kromě Zimmermanna nikdy nepochopil. Atiyah / Segal na topologických polích je také důležitý a Kac by mohl být také fyzik.
Fyzika je věda o věcech, které jsou mrtvé. Žádná logika.
V matematice existuje mnoho výsledků analyzujících obecnou povahu výpočtu. Tyto výpočty jsou živé, mohou být tak složité, jak se vám líbí. Ale fyzika se zajímá o mrtvý svět, věci, které mají jednoduchý popis, pokud jde o malý výpočet. Věci jako sluneční soustava nebo solný krystal.
Takže nemá smysl studovat logiku / výpočet / teorii množin ve fyzice, nebudete ji ani používat. Ale myslím si, že je to krátkozraké, protože logika je jednou z nejdůležitějších oblastí matematiky a je důležitá sama o sobě. Logická literatura je bohužel neprůhlednější než jakákoli jiná, i když Wikipedia a matematické přetečení pomáhají.
- Logika / výpočet / teorie množin: Nikdy ji nebudete používat, ale stejně si ji prostudujte.