Vyvíjí zbraň dostatečnou gravitaci na vystřelenou kulku, aby ji zastavila?

Ne.

Spadla by střela při dostatečně velkém čase zpět na zbraň?

Ne.

Nebo existuje omezení vzdálenosti, které může gravitace dosáhnout?

Ne.

Ale rychlost střely překračuje únikovou rychlost. Podívejte se na Wikipedii, kde si můžete přečíst, že úniková rychlost v dané vzdálenosti se vypočítá podle vzorce

$$ v_e = \ sqrt {\ frac {2GM} {r}} $$

Představte si, že hrajete tento scénář obráceně. Máte kulku a zbraň, vzdálenou od sebe milion světelných let, nehybnou ve vztahu k jiné. Díváte se a čekáte a po gazillionových letech si všimnete, že se k sobě přibližují kvůli gravitaci. (Abychom to zjednodušili, řekneme, že zbraň je nehybná a kulka klesá směrem ke zbrani). Po dalších bazilionových letech jste sledovali kulku až k dělu a všimli jste si, že se srazily rychlostí 0,001 m / s. Zkontrolujete své částky a zjistíte, že je to asi správné, vzhledem k tomu, že kdyby byla zbraň tak masivní jako Země o hmotnosti 5 972 × 10 $ ^ {24} $ kg, kulka by se s ní srazila rychlostí 11,7 km / s. Úniková rychlost je konečná rychlost padajícího tělesa, která začíná v „nekonečné“ vzdálenosti. Pokud vystřelíte ze Země projektil s více než únikovou rychlostí, nikdy se nevrátí.

Dobře, vraťme se nyní k původnímu scénáři. Vystřelíte zbraň a střela odletí rychlostí 1000 m / s. Když je kulka vzdálená několik miliónů světelných let, její rychlost se snížila na 999,999 m / s. Protože úniková rychlost děla je 0,001 m / s. Gravitace zbraně nikdy nebude stačit k zastavení této kulky, i když měla celou dobu na světě a veškerý čaj v Číně.

Jak uvedl Stephen Mathey v komentářích, pro každé tělo s hmotností $ M $ a poloměrem $ r $ existuje rychlost, kterou musí člověk dosáhnout, aby zcela unikl gravitaci těla. Toto je úniková rychlost $$ v_e = \ sqrt {\ frac {2GM} {r}} $$, kde $ G $ je Newtonova gravitační konstanta, $ M $ je hmotnost těla, ze kterého unikáte, a $ r $ je vzdálenost od středu hmoty, ve které musí být dosažena úniková rychlost.

Tento koncept se obvykle aplikuje na planety (nebo měsíce), kde $ r $ je poloměr planety (měsíce) a úniková rychlost je rychlost, kterou by raketa potřebovala (ve smyslu Delta-v), aby unikla z planety (měsíce). Tady jste mohli vzít vzdálenost od těžiště zbraně k otevření hlavně. I když je kulka stále v hlavni, mohla by se kvůli expandujícím plynům stále zrychlovat. Řekněme, že vzdálenost je $ 10 ~ \ mathrm {cm} $. Předpokládejme také, že zbraň váží jeden kilogram. Pak je úniková rychlost tak malá jako $ 37 ~ \ mu \ mathrm {m} / \ mathrm s $.

Takže ano, ta kulka se určitě nevrátí.

Pro poněkud extrémní odpověď: Jak masivní by měla být zbraň, aby úniková rychlost byla větší než rychlost střely? Předpokládám, že používáme 357 Magnum vystřelené z Desert Eagle, který je ve skutečnosti na dolním až středním konci stupnice rychlosti tlamy:

Zdroj: http://wredlich.com/ny/2013/01/projectiles-muzzle-energy-stopping-power/

Pouštní orel má hlaveň o průměru 15 cm. Pomocí vzorce uvedeného v dalších odpovědích:

$$ v_ \ mathrm e = \ sqrt {\ frac {2GM} {r}} $$

Vyplňte čísla:

$$ v_ \ mathrm e = \ sqrt {\ frac {2 \ times G \ times M} {0,15 \ \ mathrm m}} $$ $$ (410 \ \ mathrm {m / s}) ^ 2 = \ frac {2 \ krát G \ krát M } {0,15 \ \ mathrm m} $$ $$ 1,68 \ times10 ^ 5 \ \ mathrm {m ^ 2 \ s ^ {- 2}} = 13 \ \ mathrm {m ^ {- 1}} \ krát G \ krát M $$ $$ M = 1,9 \ times10 ^ {14} \ \ mathrm {kg} $$

Poznámka: Nejsem si jistý, jak přesné je toto číslo. Tyto proměnné jsem zadal do 2 online kalkulaček. 1 z nich přišel s touto odpovědí ( http://calculator.tutorvista.com/escape-velocity-calculator.html), druhý přišel se stejným číslem, ale mnoho řádů menší: $ 1889,4434 \ \ mathrm {kg} $ ( https://www.easycalculation.com/physics/classical-physics/escape- velocity.php). Nejsem si jistý, proč jsou tato dvě čísla tak odlišná.

Gravitace zbraně bude na kulku vždy působit silou. Kulka bude stále navždy zpomalovat. Rychlost jeho zpomalení je nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti od děla. Čím dále, tím pomalejší zpomalení.

Je logické si myslet, že něco, co navždy zpomalí, se nakonec zastaví. Ale to není vždy pravda.

Jak kulka zpomaluje, ztrácí kinetickou energii. To lze vypočítat jako integrál síly působící na něj, když se pohybuje ze vzdálenosti $ r_1 $ do $ r_2 $.

$$ \ Delta K = - \ int_ {r_1} ^ {r_2} \ frac {GMm} {r ^ 2} \, dr $$

Tato ztráta energie není nikdy nulová, přesto je její celkový součet omezený. (Logicky podobným způsobem, jakým může být geometrická řada konvergentní.) Pokud byla počáteční kinetická energie větší než vázaná na ztrátu energie, zůstanou nějaké, bez ohledu na to, kolik času uplynulo. Jinými slovy kulka zpomalí nepřetržitě, ale nikdy neklesne pod určitou rychlost.

Úniková rychlost uvedená v ostatních odpovědích je počáteční rychlost, kde má kulka stejně tolik kinetické energie jako vázaná energie ztracená. Pokud je to přesně počáteční rychlost, pak kulka zpomalí a její rychlost bude mít tendenci k nule. Pokud je počáteční rychlost vyšší, rychlost střely bude mít sklon k kladné hodnotě. Pokud je počáteční rychlost nižší, kulka po nějaké konečné době ztratí veškerou rychlost a začne klesat zpět.

Předpoklad, že hmotnost zbraně ($ M $) je mnohem větší než hmotnost střely ($ m $), je čistá síla na kulku: (z rámu zbraně).

$$ m \ frac {d ^ 2r} {dt ^ 2} = mv \ frac {dv} {dr} = - \ frac {GMm} {r ^ 2} $$

rovnost se získá ze skutečnosti, že zrychlení je $ \ frac {dv} {dt} $, což se rovná $ \ frac {dv} {dr} \ frac {dr} {dt} $, (pomocí pravidla řetězu) druhý člen být rychlostí.

Po integraci získáme:

$$ \ frac {mv ^ 2} {2} - \ frac {GMm} {r} = c $$

Pokud předpokládáme, že kulka se zastaví v nekonečné vzdálenosti (tj. unikne z děla, nikdy se nevrátí), byla by její energie v té době nulová.

Z toho dostaneme:

$$ v_i = \ sqrt \ frac {2GM} {r} $$ (kde $ r $ je vzdálenost od středu hmoty zbraň do bodu, kde zbraň opustila.)

Toto je úniková rychlost střely. (jako zmínili @Jonas a @Steven Mathey a @John Duffield.)

U všech vyšších počátečních rychlostí by gravitační síla z pistole nebyla schopna táhnout kulku zpět. Vzhledem k tomu, jak malá je hodnota $ v_i $ obecně ve srovnání s průměrnými rychlostmi kulka, kulka většinou unikne.

(Počáteční předpoklad pomáhá usnadnit matematiku, ale nejde o absurdní předpoklad. Tento předpoklad je matematický ekvivalent tvrzení, že se zbraň vůbec nehýbala kvůli síle vyvíjené kulkou.)