Předpokládejme, že vzdálenost $ x $ se mění s časem jako: $$ x = 490 t ^ 2. $$ Musíme vypočítat rychlost na $ t = 10 \ \ mathrm s $. Moje otázka zní, proč nemůžeme jednoduše dát $ t = 10 $ do rovnice $$ x = 490t ^ 2 $$, která nám dá celkovou vzdálenost překonanou tělem a poté ji vydělíme 10 (protože $ t = 10 \\ mathrm s $), což nám dá rychlost, jako je tato: - $$ v ~ = ~ \ frac {490 \ krát 10 \ krát 10} {10} ~ = ~ 4900 \ \ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}} $$ Proč bychom měli používat diferenciaci, například takto: $$ \ begin {pole} {rl} x & = 490t ^ 2 \\ \\ v & = \ mathrm dx / \ mathrm dt \\ & = \ mathrm d (490t ^ 2) / \ mathrm dt \\ & = 490 \ krát 2 \ krát t \\ & = 490 \ krát 2 \ krát 10 \\ & = 9800 \, \ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}} \ end {pole} $$ Což nejen vytváří zmatek, ale také dává jinou odpověď. Jakákoli pomoc je vysoce ceněna.
Vaše otázka je legitimní a já nechápu, proč byla zamítnuta. Zmatek vzniká v rozdílu mezi průměrnou a okamžitou rychlostí.
Zvažte tento příklad: auto se pohybuje rychlostí 10 m / s po dobu 5 sekund, poté se zastaví na světlo na dalších pět sekund. Jaká je rychlost vozu po 7 sekundách? Podle vašeho výpočtu by to bylo $ \ frac {5 \, \ textrm {s} \ cdot10 \, \ textrm {m / s}} {7 \, \ textrm {s}} \ přibližně 7,14 $ m / s, což je zjevně špatné, protože auto je po 7 sekundách zcela v klidu. To, co jste právě vypočítali, je průměrná rychlost automobilu během těchto 7 sekund.
Zeptat se na rychlost tělesa v daném časovém okamžiku je ekvivalentní k otázce „jak moc se poloha změní po nekonečně dlouhé době?“, což je, v přísných termínech, jako vzít nekonečně malé množství prostor $ dx $ a jeho dělení nekonečně malým časem $ dt $ (takto vlastně nejsou matematicky definovány deriváty, ale funguje to na intuitivní úrovni). Průměrná rychlost během nekonečně malého času se stane okamžitou rychlostí a vypočítá se pomocí derivace.
V našem předchozím příkladu bychom získali $ 0 $, protože za 7 sekund a těsně před a těsně po 7 sekundách je auto v klidu.
Jedna věc, kterou byste si měli všimnout na své metodě, je, že získáte jiný výsledek v závislosti na tom, v jakém časovém rozsahu jste průměrně. Průměrujete z času t = 0 až t = 10, ale co je na t = 0 tak zvláštního?
Pokud uděláte totéž, ale začnete od t = 5, získáte:
$$ v = \ frac {490 \ krát 10 \ krát 10 - 490 \ krát 5 \ krát 5} {10 - 5} = 7350 $$
Jelikož cílem je určit okamžitou rychlost v určitém čase, měla by skutečnost, že výsledek závisí na jiném čase, který zahrnete do rovnice, silným znamením, že váš výsledek není téměř o požadovaném čase, jde o rozsah času jako celku.
Když vypočítáváte derivaci, počítáte limit výsledku, protože velikost tohoto časového rozsahu se zmenšuje a zmenšuje, což se blíží nekonečně malé době, kterou nazýváme „okamžitá“.
Dalším způsobem, jak o tom intuitivně uvažovat, je to, že okamžitá rychlost je to, co byste viděli, kdybyste měli rychloměr a podívali jste se na něj v čase t = 10. Odečet rychloměru v té době není průměr od doby, kdy jste spustili auto, je to právě ta okamžitá rychlost (jedná se o zjednodušení, protože vnitřní mechanismus rychloměru je nutně průměrován za krátkou dobu, ale dostane se do toho).
Vypočítáváte rozdílový kvocient, $$ \ frac {f \ left (b \ right) -f \ left (a \ right)} {b-a} \ ,, $$ kde $ x \ left (t \ right) = 490t ^ 2 $, $ b = 10 $ a $ a = 0 $ takové, že $$ \ frac {f \ left (b \ right) -f \ left (a \ right)} {b-a} ~ = ~ \ frac {490 \ krát {10} ^ 2-490 \ krát 0 ^ 2} {10-0} ~ = ~ 4900. $$ Diferenční kvocient konverguje k derivaci, protože koncové body jsou nekonečně blízko. Váš výpočetní přístup je podobný tomu, jak počítače provádějí části metody konečných rozdílů, pokud tento interval zmenšíte.
Použijme například metodu, kde $ x_b = 10 + 0,001 $ a $ x_a = 10-0,001 $; poté požádáme WolframAlpha, aby za nás tuto matematiku udělal, máme $$ \ frac {f \ left (b \ right) -f \ left (a \ right)} {b-a} ~ = ~ \ frac {490 \ krát {\ levý (10 + 0,001 \ pravý)} ^ 2-490 \ krát {\ levý (10-0,001 \ pravý)} ^ 2} {\ levý ({10 + 0,001} \ pravý) - \ left ({10 + 0,001} \ right)} ~ \ přibližně ~ 9800. $$ To je přibližně stejná hodnota, jakou získáme z přístupu analytického počtu.
To znamená, že pokud rovnice potřebuje okamžitou rychlost změny, $ \ frac {\ mathrm {d} f \ left (x \ right)} {\ mathrm {d} x} $, pak to je to, co potřebuje. Jak jste již poznamenali, rozdílový kvocient může být velmi odlišné číslo, pokud rozdíl mezi $ x_b $ a $ x_a $ není zanedbatelně malý.
Zde vidíte pozici $ x $ měnící se vzhledem k $ t $ jako $ x = 490t ^ 2 $.
Na pravé straně vidíte, že pozice se mění rychleji.Rychlost se zvyšuje a konečná rychlost se zjevně liší od počáteční nebo průměrné rychlosti.
Doufám, že vizualizace pomůže posílit to, co ostatní odpovědi vysvětlují slovy.
Jak již řekli ostatní, při výpočtu $$ \ frac {x (10) -x (0)} {10-0} $$ počítáte průměrnou rychlost za 10 sekund interval od $ t = 0 $ do $ t = 10 $. Graficky to odpovídá zjištění sklonu sečanové čáry (čáry protínající graf ve 2 bodech) zobrazené v grafu níže:
Otázka si však žádá okamžitou rychlost při $ t = 10 $, což graficky odpovídá sklonu tečny v $ (10, 4900) $, jak je znázorněno na níže uvedený graf:
Pokud vykreslíte obě čáry do stejného grafu, uvidíte, že nemají stejný sklon; ve skutečnosti je tečná čára přesně dvakrát tak strmá jako sečna. To vizuálně ukazuje, že okamžitá rychlost není stejná jako průměrná rychlost.
Nyní je tu zvláštní náhoda: okamžitá rychlost při $ t = 0 $ je přesně $ 0 $, okamžitá rychlost při $ t = 10 $ je 9800 $, takže průměrná rychlost v intervalu $ 0 \ le t \ le 10 $ se shoduje s průměrem okamžitých rychlostí ve dvou koncových bodech intervalu! To se obecně neděje - ve většině případů „průměrná rychlost nad $ [a, b] $“ znamená něco jiného než „průměr okamžitých rychlostí na $ a $ a $ b $“ - ale vždy se to stane když je funkce polohy kvadratická (zjistit, proč je to pravda, je zábavné cvičení).
Mícháte rozdíl mezi okamžitou rychlostí a průměrnou rychlostí.Vaše metoda zkoumá průměrnou rychlost, což je změna polohy děleno časem potřebným k ujetí této vzdálenosti.To nám však neříká rychlost při t = 10 sekund.Obecně se objekt může pohybovat velmi rychle, pomalu nebo dokonce v klidu při t = 10, ale stále má stejnou průměrnou rychlost.
Časová derivace polohy nám dává okamžitou rychlost v určitou dobu.Každá metoda, kterou jste popsali, udává rychlost, ale nepopisuje stejné věci.
Pokud je rychlost konstantní, průměrná rychlost a okamžitá rychlost jsou stejné bez ohledu na to, jaký interval použijete k výpočtu průměrné rychlosti nebo jaký bod použijete k výpočtu okamžité rychlosti.
Ve vašem příkladu se rychlost mění - poznáte to, protože vzdálenost je úměrná $ t ^ 2 $, nikoli t - proto se průměrné i okamžité rychlosti budou lišit pro různé časové intervaly nebo různé časové body, resp.