Úplnou odpovědí na tuto otázku je otevřený problém v mechanice tekutin, protože přesná uzavřená řešení řešení rovnic vodní gravitační gravitační rovnice vody nejsou známa. Za určitých asymptotických aproximací však můžeme odhadnout rychlost těchto vln.

Irrotační inviscidní povrchové vlny se řídí Laplaceovou rovnicí, tj.

$$ \ nabla ^ 2 \ phi = 0 $$

kde $ \ phi $ je rychlostní potenciál. Tato řídící rovnice spolu s okrajovými podmínkami

$$ \ phi_t + \ frac {1} {2} (\ nabla \ phi) ^ 2 + gz = 0 $$

$ $ \ eta_t + (\ nabla \ phi) \ cdot (\ nabla \ eta) = \ phi_z $$

kde $ \ eta $ je posunutí volné plochy a tyto rovnice se vyhodnotí na volné ploše , tj. $ z = \ eta $, a dolní okrajová podmínka $ \ phi_z = 0 $ při $ z = -h $, s h hloubkou vody, tvoří úplnou sadu rovnic. Zde také $ g $ je gravitační zrychlení.

Řídící rovnice je lineární, tj. Laplaceovy rovnice, ale BC jsou nelineární, a navíc se hodnotí v bodě, pro který musíme vyřešit, což je velmi obtížné vyřešit.

Abychom dosáhli jakéhokoli analytického pokroku, provedeme asymptotické aproximace. V závislosti na tom, zda popisujete vlny hluboké nebo mělké vody, vstupují do hry různé bezrozměrné parametry. U lineárních vln však oba sdílejí společný malý parametr $ \ epsilon \ equiv ak $, který popisuje vlnový sklon.

V tomto případě jsou řídící rovnice do $ \ mathcal {O} (\ epsilon) $

$ \ nabla ^ 2 \ phi = 0 $, s $ \ phi_t + g \ eta = 0 $ a $ \ eta_t = \ phi_z $, obě hodnoceny na $ z = 0 $, zatímco $ \ phi_z = 0 $ na $ z = -h $.

Pro zjednodušení uvažujme vlny dvou dimenzí, kde $ x $ je horizontální směr a $ z $ je vertikální souřadnice. Za předpokladu, že řešení jsou trvalé progresivní vlny ve tvaru $$ \ eta = a \ cos (kx- \ omega t) $$ s $ a $ amplitudou, $ k $ vlnovým číslem a $ \ omega $ frekvencí, zjistíme, že lineární řídící rovnice implikují

$$ \ omega ^ 2 = gk \ tanh (kh) $$

Nyní, když sledujeme vlny konstantní fáze $ \ theta = kx - \ Omega t $, vidíme, že tyto vlny cestují rychlostí $ c = \ omega / k $. V mělké vodě $ kh \ gg 1 $, takže

$$ \ omega ^ 2 \ cca ghk ^ 2 \\ (\ text {and}) \\ c = \ sqrt {gh}, $$

v hluboké vodě $ kh \ ll 1 $, takže

$$ \ omega ^ 2 \ cca gk \\ (\ text {and}) \\ c = \ sqrt {\ frac {g} {k}} $$

První věc, kterou si všimneme, je, že v hluboké vodě jsou vlny disperzní , což znamená, že fázová rychlost závisí na vlnovém čísle. To je důvod, proč například když na břeh přijdou bobtnání, jsou to nejdelší vlny, které přicházejí jako první. V mělké vodě nejsou vlny prvního řádu rozptýlené.

V prvním pořadí nejsou probuzení nic jiného než lineární superpozice vln kvůli narušení pohyblivého bodu. Toto se nazývá problém probuzení lodi Kelvin a já jsem zde diskutoval o způsobu, jak odvodit tento výsledek.

Nyní výše uvedený popis stěží představuje souhrn. Existuje například mnoho zajímavých efektů, ke kterým dojde, když jsou zahrnuty kapilární efekty. Pro hlubinné kapilární vlny

$$ \ omega ^ 2 = Tk ^ 3 $$

, kde $ T $ je povrchové napětí vody. Vidíme, že u těchto vln se rychlost zvyšuje s vlnovým číslem, na rozdíl od gravitačních vln. Tato rovnice je však akademická, protože jakýkoli popis kapilárních vln musí nutně zahrnovat rozptyl, což je výrazně obtížnější modelovat (a bylo to provedeno pouze pro nelineární případy numericky).

Efekty druhého řádu (např. v mělkých vodních solitonech, v hlubokých vodách Stokesovy efekty a nelineární Schrödingerova rovnice) jsou opravdu zajímavé, ale vyžadují těžší zvedání.