V nerelativistické mechanice je čas $ t $ (univerzální) parametr a souřadnice částice (v nějakém inerciálním souřadnicovém systému ) lze vyjádřit jako tři funkce, $ x (t), y (t), z (t) $ tohoto univerzálního parametru $ t $ . Rychlost částice (v těchto souřadnicích) je potom derivací polohy vzhledem k parametru $ t $ :

$$ \ mathbf {v} = \ frac {dx} {dt} \ hat {\ mathbf {x}} + \ frac {dy} {dt} \ hat { \ mathbf {y}} + \ frac {dz} {dt} \ hat {\ mathbf {z}} $$

V relativistické mechanice (pro zjednodušení SR) je však čas $ t $ souřadnice , která je závislá na referenčním rámci. Světovou linii částice lze přesto parametrizovat správným časem $ \ tau $ , což je v podstatě čas ideálních hodin fixovaných na částici (čas náramkových hodin ').

Souřadnice částice (v nějakém inerciálním souřadnicovém systému) lze poté vyjádřit jako čtyři funkce, $ t (\ tau), x (\ tau), y (\ tau), z (\ tau) $ správného času částice $ \ tau $ . čtyřrychlost částice je potom derivací čtyřpolohy s ohledem na parametr $ \ tau $ :

$$ \ vec {U} = c \ frac {dt} {d \ tau} \ hat {\ mathbf {t}} + \ frac {dx} {d \ tau} \ hat {\ mathbf {x}} + \ frac {dy} {d \ tau} \ hat {\ mathbf {y}} + \ frac {dz} {d \ tau} \ hat {\ mathbf {z} } $$

Takže v tomto souřadnicovém systému je složka čtyřrychlosti částice v časovém směru

$$ U ^ 0 = c \ frac {dt} {d \ tau} $$

Nyní je možné ukázat, že (dilatace času)

$$ dt = \ gamma_v d \ tau $$

kde

$$ \ gamma_v \ equiv \ left (1 - \ frac {v ^ 2} {c ^ 2} \ right) ^ {- 1/2} $$

a

$$ v = \ sqrt {\ left (\ frac {dx} {dt} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac {dy} {dt} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac {dz} {dt} \ right) ^ 2} $$

tedy

$$ U ^ 0 = c \ gamma_v $$

Toto je podle mého názoru rozumná odpověď na otázku „S jakou rychlostí se pohybujeme v časové dimenzi?“ pokud pod rychlostí znamená jednaderivace souřadnic s ohledem na časový parametr .

(poznámka: Když jsem dokončoval psaní této odpovědi, všiml jsem si, že Ben Crowell zveřejnil v podstatě stejnou odpověď, ale stejně ji zveřejním, protože již je hotová.)

Existuje mnoho různých konvencí pro definování některých detailů, ale nejběžnějším způsobem, jak to popsat, mezi relativisty, je následující. Bereme jednotky, ve kterých $ c = 1 $ . Existuje rychlostní vektor, který je tečný ke světové linii částice. Normalizace tohoto čtyř vektoru je definována tak, že jeho norma je 1 (v podpisu $ + --- $ ). To vše je nezávislé na souřadnicích.

Pokud se nyní specializujeme na Minkowského souřadnice $ (t, x, y, z) $ v plochém časoprostoru, pak se komponenty čtyřvektoru rychlosti stanou derivace souřadnic s ohledem na správný čas $ \ tau $ (nekoordinovat čas $ t $ ) a normalizační podmínka nakonec způsobí, že časová složka vektoru rychlosti bude Lorentzovým faktorem $ \ gamma $ . To je nejbližší věc, kterou máme v běžné profesionální notaci k užitečnému způsobu definování něčeho, co je užitečné a nějakým způsobem odpovídá pojmu „rychlost v časové dimenzi“. Je to $ \ gamma $ .

Ve zvláštním případě, kdy je částice v klidu vzhledem k použitému Minkowského rámu, máme $ \ gamma = 1 $ . Toto je ospravedlnění, které vidíte v prohlášení v popularizaci, že „se pohybujeme časoprostorem rychlostí světla“, protože rychlost světla je 1. Většina relativistů se však drží této frazeologie, která se zdá být propagována Brianem Greene .

V relativitě je časová souřadnice $ x_o = ct $ a její časová derivace (v zbytek rámce) je $c $ .Časovou složkou čtyřrychlosti je tedy rychlost světla ve vakuu.

Přesně za 1 sekundu za sekundu.