Pokud chcete něco dokázat, musíte začít s axiomy, o nichž se předpokládá, že jsou pravdivé.Co byste v tomto případě zvolili jako axiomy?

Newtonovy zákony jsou ve skutečnosti axiomy, které byly vybrány (jak již uvedli ostatní), protože jejich předpovědi souhlasí se zkušeností.Je nepochybně možné dokázat Newtonovy zákony vycházející z jiné sady axiomů, ale to jen nakopne plechovku po silnici.

V jistém smyslu lze Newtonův druhý zákon „odvodit“ z předpokladu, že vývoj systému je určen pouze jeho počáteční pozicí a rychlostí. Toto je argument předložený na začátku V.I. Arnoldovy Matematické metody klasické mechaniky. Začíná 1. kapitolu následujícími „experimentálními fakty“:

1. Náš prostor je trojrozměrný a euklidovský. Čas je jednorozměrný.
2. Existuje sada souřadnicových systémů (nazývaná „inerciální“), která má následující dvě vlastnosti: (a) Všechny přírodní zákony jsou v každém okamžiku stejné ve všech inerciálních souřadnicových systémech. (b) Všechny souřadnicové systémy v rovnoměrném přímočarém pohybu vzhledem k inerciálnímu jsou samy inerciální.
3. Počáteční stav mechanického systému (součet pozic a rychlostí jeho bodů v určitém časovém okamžiku) jednoznačně určuje veškerý jeho pohyb.

Předpokládejme, že náš systém je určen reálnými čísly $ N $, která můžeme sestavit do vektoru $ \ mathbf {x} $. Protože „experimentální skutečnost“ č. 3 říká, že všechny vlastnosti pohybu jsou určovány polohami a rychlostmi, zrychlení $ \ mathbf {x} $ (zejména) je určováno těmito veličinami. Můžeme tedy dojít k závěru, že existuje funkce $ \ mathbf {f}: \ mathbb {R} ^ N \ times \ mathbb {R} ^ N \ times \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ N $ takové že $$ \ ddot {\ mathbf {x}} = \ mathbf {f} (\ mathbf {x}, \ dot {\ mathbf {x}}, t). $$ Lze to považovat za definování $ \ mathbf {F} $ pro daný systém; pokud vynásobíme každou složku $ \ mathbf {f} $ "hmotností každého bodu" (v nějakém vhodném smyslu), dostali bychom "sílu v každém bodě." Skutečnost, že počáteční polohy a rychlosti určují pohyb, tedy znamená existenci Newtonovy rovnice pro nějakou funkci $ \ mathbf {F} $.

Všimněte si, že tato implikace jde i jiným způsobem.Pokud předpokládáme, že tato funkce $ \ mathbf {f} $ existuje, existují věty z oblasti obyčejných diferenciálních rovnic, které zaručují existenci a jedinečnost řešení $ \ mathbf {x} (t) $.(Jinými slovy, pro určení pohybu nepotřebujeme definovat nezávislou funkci pro $ \ dddot {\ mathbf {x}} $ nebo nějakou vyšší derivaci; stačí jedna funkce, která určuje druhou derivaci.)„experimentální skutečnost“, že počáteční polohy a rychlosti zcela určují pohyb, je zcela ekvivalentní tvrzení druhého Newtonova zákona.

Požádat o důkaz zákona je hloupé.Zákon je něco, co je dáno k vysvětlení jevu.Je platný, pokud mu něco neodporuje a je schopen věci správně vysvětlit.Pokud jde o Newtonovy zákony, jsou již v rozporu s Einsteinem.Není tedy platný, protože základní axiomy, které používá, jako je konzistence časových intervalů a délky v různých referenčních rámcích, jsou vyvráceny teorií relativity.Skutečnost, že používá euklidovskou geometrii, která je již spolu s jejími axiomy vyvrácena, jasně vyvrací samotné Newtonovy zákony.I tehdy je dobře a snadno použitelný v rychlostech zanedbatelných s ohledem na rychlost světla, a proto jej používáme.Nakonec bych řekl, že žádný vědecký zákon nepotřebuje důkaz.Pokud se to také prokáže, nestane se teorémem?

Vaše větší otázka pravděpodobně zní: „Jaký je vztah mezi fyzikou a matematikou?“.Richard Feynman má vynikající přednášku o tomto vztahu mezi fyzikou a matematikou.Najdete jej zde: Richard Feynman - Charakter fyzikálního zákona - 2 - Vztah matematiky k fyzice.Diskuse o tomto bodě začíná ve 22:55.

Parafrázování Feynmana se cítí trochu jako kacířství, ale jde o to, že i kdybyste přistupovali k fyzice axiomaticky, bylo by mnoho možností, které byste mohli udělat, která myšlenka byla axiom a která věta.Geometrie má podobný problém.Nejpragmatičtější věcí, kterou musíte udělat, je mít soubor zásad, které jsou užitečné pro řešení věcí, a těch, ve které máte velkou důvěru. Tato důvěra pochází z toho, že je dostatečně jednoduchá, aby měla jasné důsledky a zkontrolovala toliktěchto různých důsledků, jak můžete.

Jedná se o přiblížení obecné relativitě, takže ano, lze je dokázat pomocí obecné relativity.

Zákony klasické mechaniky lze odvodit z kvantové mechaniky.Klasickou mechaniku lze přeformulovat, pokud jde o princip nejmenší akce.Časový vývoj systému je takový, že je minimalizována veličina zvaná akce.Podle kvantové mechaniky se systém bude vyvíjet pravděpodobnostním způsobem, pravděpodobnost nalezení určitého výsledku je dána určitým integrálem zahrnujícím akci, která je přes všechny možné cesty.U systému v režimu, kde by klasická mechanika měla být dobrou aproximací, se stane, že v příspěvku k integrální cestě cesty budou dominovat cesty, které jsou na minimu akce nebo blízko ní.

ZFC je jedním z axiomatických systémů, které vyžadujeme pro matematiku.

Ve fyzice však musíme předpokládat některé vnější podmínky, které jsou nastaveny ve vesmíru (které se mohou v jiném vesmíru změnit).Nenazval bych je axiomy, ale spíše podmínky / omezení, které lze najít pouze experimentálně.

Je to jako ptát se, jaká je barva míče uchovávaného v krabici. Zjistíte to pouze jeho pozorováním, protože jde pouze o informaci.

Zajímavou částí je, jaká je základní věta / zákon, který určuje, jaká bude souvislost mezi různými fyzikálními veličinami?Kde je to všechno kódované?Jinými slovy, proč by měl $ V = I R $ a ne $ V = kIR ^ 3 $ pro nějakou konstantu $ k $.Dokud nedosáhneme lepšího porozumění, je třeba je najít pomocí experimentů.

Vždycky jsem si myslel, že pouze třetí zákon je axiom;a je celkem intuitivní, že můžete vyvinout sílu pouze „odtlačením od něčeho jiného“.

Všechno ostatní z klasické fyziky - včetně dvou dalších zákonů a zachování energie - následuje, když se předpokládá, že čas a prostor jsou pro všechny zúčastněné stejné (ano, to lze považovat za nakopnutí plechovky po silnici)...).

Více abstraktním zněním tohoto základního principu by mohlo být: „Veškerá interakce je - jak toto slovo napovídá - vzájemná a probíhá ve společném referenčním rámci.“

Abych byl upřímný, nejsem si tak jistý společným referenčním rámcem v relativistické fyzice;i když intuitivně bych řekl, že tato základní věta stále platí: společný referenční rámec se komplikuje.

tl; dr: Ne, ale v zásadě jsou ekvivalentní zákonům zachování celkové energie a hybnosti systému.

První zákon (objekt má konstantní hybnost, pokud na něj nepůsobí síla) je v mých očích pouze zvláštním případem druhého zákona (protože zrychlení je podle definice změna rychlosti a druhý zákon dává souvislost s síla) - takže nic, co by se tam dokázalo, kromě nějakého přemýšlení o spojení mezi hybností a rychlostí.

Druhý zákon (změna hybnosti objektu je úměrná síle působící na něj) je v podstatě definice síly za předpokladu, že již víte, co je to „hmotnost“. Definice není nic, co byste mohli ani nepotřebujete prokázat.

Třetí zákon (actio = reactio) je nejzajímavější. Uvádí, že tato „síla“ definovaná výše nejenže pramení z interakce mezi dvěma (nebo více) objekty (tj. $ \ Vec F_i = \ sum_ {j \ neq i} \ vec F_ {ij} $) - což je opět jen definice - ale že to funguje v obou směrech s protichůdnými znaménky ($ \ vec F_ {ji} = - \ vec F_ {ij} $). Můžeme to „dokázat“?

Ne tak úplně. Ukažme si však, že to odpovídá něčemu, co (pro mě) vypadá docela intuitivně:

• Nepředpokládejte žádné „vnější“ síly (lze je vysvětlit tak, že předpokládáme, že objekty, které je způsobují, mají nekonečnou hmotnost).
• Je-li síla bez vírů ($ \ vec \ nabla \ times \ vec F_i (\ vec x_i) = 0 $) a závisí pouze na poloze objektu, lze ji vyjádřit jako gradient skalárního potenciálu $ V_i (\ vec x_i) $ takové, že $ \ vec F_i (\ vec x_i) = - \ nabla V_i (\ vec x_i) $. Třetí axiom je pak ekvivalentní požadavku, aby jednotlivé potenciály závisely pouze na vzdálenostech mezi objekty, tj. $ V_ {ij} = V_k (\ vec x_i - \ vec x_j) $ (kde index $ k $ slouží pouze účelu umožnění různých druhů potenciálu mezi různými objekty, např. elektrostatický nebo gravitační).
• Složitější závislost síly zahrnuje složitější potenciály, ale stále se snižuje na stejnou věc: Veškerá interakce závisí na vzdálenosti (a volitelně relativní rychlosti ⁺ ).

Díky Noetherově teorému nezávislost těchto sil na absolutních pozicích v prostoru (a čase) implikuje zachování celkové hybnosti (a energie) všech objektů dohromady.A to mi připadá velmi intuitivní.

⁺ Všimněte si, že síla působící na objekt $ i $ může záviset na jeho poloze $ \ vec x_i (t) $ a jeho rychlosti $ \ vec v_i (t) = d / dt \\ vec x (t) $, ale ne na jeho zrychlení, protože to lze opravit předefinováním síly.Argumentovat, proč by síla také neměla záviset na vyšších derivátech $ \ vec x_i (t) $, je složitější ^* , ale také irelevantní.

^* Začal bych s relativitou a metrikami pouze v závislosti na $ x $ a $ dx $, ale to už jde příliš daleko ...

Byl jsem vyzván, abych rozvinul svůj komentář do úplné odpovědi.

Existovaly různé (pro začínajícího člověka velmi vhodné) práce, které rozvíjejí speciální relativitu od prvních principů, včetně zpráv, že Galileo to mohl zjistit bez kalkulu. Toto je rozpracováno v této odpovědi.

Tyto práce ukazují, že vzhledem k symetrii , dále vyvinuté z myšlenky reciprocity (pokud A vidí B pohybovat se rychlostí X než B vidí A pohybovat se rychlostí −X) , lze určit obecnou formu, kterou musí mít přidání rychlosti. To zahrnuje speciální čas a prostor systému Galileo. Obyčejně se říká, že odvozuje speciální relativitu z prvních principů: odvozuje tedy také Newtonovy zákony jako speciální případ, nebo se předpokládá, že jsou vstupem do procesu?

Počáteční bod předpokládání symetrií vám dá Newtonův první zákon: základní případ, který říká, že existují inerciální referenční rámce. Jen proto, že víte, jak se rychlosti zvyšují, ještě neznamená, že vám byl předán koncept sil a hybnosti.

Takže můžete postulovat první Newtonův zákon, nebo můžete postulovat symetrii prostoru a času, která má přesnější význam.

T Chcete-li dokázat další Newtonovy zákony, musíte různé axiomy pro začátek; se neobjevují jen z ničeho (mimo to ukazuje, že jsou možnou konzistentní sadou pravidel v rámci zavedených symetrií) .

Další odpovědi zde. Začněte něčím, co nyní považujeme za zásadnější. Musíte postulovat myšlenku, že objekty mají různou odolnost vůči pohybu, mohou si vyměňovat hybnost atd. A hlavní zákon, že příroda minimalizuje určité množství, a můžete odvodit konkrétní vzorce pro zákony.

Logika je v podstatě tautologie - říká přesně to samé dvakrát různými způsoby. Něco dokázat je proces, který zajišťuje, že tvrzení (to, co se snažíte dokázat) je ekvivalentní s předchozími tvrzeními (premisa nebo axiomy).

V tomto světle je otázka o matematickém důkazu základního fyzikálního zákona trochu zbytečná. NIKDY si nemůžeme být jisti, že fyzikální zákon má absolutní pravdu jedinou matematikou - děláme jen přeformulování něčeho jiného (někdy přidáme trochu předpoklady navíc) - můžeme jen zvyšte naši důvěru v to opakováním experimentů.

Kromě toho existuje několik složitých bodů,

Newtonův zákon I: Definuje, co jsou inerciální rámce - nemůžete prokázat a definici , můžete uvést pouze definici.

Newtonův zákon II: Je to částečně definice, částečně empirický zákon.

Newtonův zákon III: Je to empirický zákon.

Empirické zákony lze chápat jako obecné prohlášení o naší povaze - něco, co lze vyvrátit pouze experimenty. A matematikou vypočítáme jejich důsledek nebo je odvodíme (přeformulujeme) od jiných daných zákonů (např. F = ma od Lagrange).

Newtonův první zákon účinně uvádí, že hybnost je zachována.Newtonův druhý a třetí zákon lze odvodit z prvního zákona pro jednu ze dvou možných definic hybnosti.Odvození využívá Reynoldsovu transportní větu.

Dvě možné definice hybnosti lze odvodit analyticky na základě jednoho předpokladu o relativním pohybu.První definice ignoruje rychlost světla.Druhá definice je moderní relativistická definice.Druhá definice byla ověřena experimentálně.