Ne, obecně nemůžete rozdělit jeden vektor na druhý. Je možné dokázat, že žádné násobení vektorů ve třech rozměrech nebude tak dobře vychováno, aby mělo rozdělení, jak tomu rozumíme. (To záleží na tom, co přesně znamená „dobře vychovaný“, ale hlavním výsledkem je Hurwitzova věta.)

Pokud jde o sílu, plochu a tlak, je to nejplodnější lze říci, že síla je plocha krát tlak: $$ \ vec F = P \ cdot \ vec A. $$ Jak se ukázalo, tlak ve skutečnosti není skalární, ale matice (nebo, více technicky, tenzor 2. úrovně). Důvodem je, že v určitých situacích může oblast s normálním vektorem směřujícím ve směru $ z $ také zažít síly podél $ x $ a $ y $ , které se nazývají smykové napětí. V tomto případě je správný lineární vztah takový, že $$ \ begin {pmatrix} F_x \\ F_y \\ F_z \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} p_x & s_ {xy } & s_ {xz} \\ s_ {yx} & p_y & s_ {yz} \\ s_ {zx} & s_ {zy} & p_z \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} A_x \\_y_ end {pmatrix}. $$ V kapalině jsou smykové napětí nulové a tlak je izotropní, takže všechny $ p_j $ s jsou stejné a proto je tenzor tlaku $ P $ skalární matice. V tělese naopak mohou vznikat smyková napětí i ve statických situacích, takže potřebujete úplnou matici. V tomto případě se matice označuje jako tenzor napětí tělesa.

Kromě toho můžete ve skutečnosti rozdělit dva vektory. Jedinou otázkou je, jak chcete interpretovat objekty a hlavně operaci.

Například můžete namapovat vektory na objekt v prostoru čtveřice jednoduše:

$$ \ phi: V \ rightarrow H: \ vec {v} \ mapsto (0, \ vec {v}), $$

a rozdělení je dobře definováno. Ale vaše odpověď bude obecně zcela zjevně obecná čtveřice $ (r, \ vec {u}) $ a budete k tomu potřebovat fyzický výklad.

Ve specifikách vaší otázky , vidíte, objekty a operace jsou stanoveny přírodou. Síla a plocha jsou vektory související s tenzorem zvaným tlak jako:

$$ \ vec {F} = P \ vec {A}, $$

kde operace $ P $ on $ \ vec {A} $ je definováno jako tenzorová akce. V tomto nastavení neexistuje žádný jedinečný způsob, jak definovat dělení dvou vektorů pro vytvoření tenzoru: definice operace nepřipouští žádnou rozumnou inverzi.

Abychom definovali vektorové dělení jako skalární výsledek jednoho vektoru „děleného“ jiným, kde by nám skalární časy vektoru jmenovatele poskytly vektor čitatele, můžeme napsat následující: \ begin {align *} \ vec u& = w \ vec v \\\ vec u \ cdot \ vec v& = w \ vec v \ cdot \ vec v \\\ proto w& = \ frac {\ vec u \ cdot \ vec v} {v ^ 2} \ konec {align *}

Matematika pro skalární kvocient funguje. To je jeden způsob, jak rozdělit vektor

Záleží na kontextu. Dělení je obvykle definováno jako inverzní násobení. Pokud

$$ x \ cdot \ vec {v} = \ vec {u} $$

pak, pokud existuje pouze jeden $ x $, který vyhovuje výše uvedenému vztahu, můžete řekni, že $ x = \ frac {\ vec {u}} {\ vec {v}} $.

$ x $ zde může být skalární (takže vynásobíš vektor skalárem) a má to smysl pokud vezmete v úvahu vektory, které směřují stejným směrem.

$ x $ může být matice a další odpovědi ukázaly případy, kdy matice není jedinečná.

$ x $ could být také vektorem a můžete zvážit buď tečkovaný nebo křížový součin. Opět existují případy, kdy to funguje a kdy ne.

Takže nemůžete dělit ničím, mohou existovat některá dělení, která nelze definovat, ale to je v pořádku - nemůžete dělit nulou také v reálných hodnotách. Musíte jen pochopit, co děláte a zda je inverze jedinečná a jestli je vůbec definovatelná. Existují případy, kdy vektorové dělení dává smysl a je užitečné.

Vezměme si například Lorentzovu sílu na náboj, který se pohybuje v magnetickém poli. $$ \ vec {F} = q \ vec {v} \ times \ vec {B} $$

Pokud můžete měřit sílu a jednu z veličin na pravé straně, druhou je dělení (pozor, je-li to inverzní násobení pravé nebo levé strany) :)) síly a měřené veličiny na pravé straně.

Mohlo by se to psát jako $$ \ vec {v} = \ frac {\ vec {F}} {\ vec {B}} ( left) $$, kde „left“ a „right“ je věcí konvence.

Jak však zdůraznil Jerry, řešení není jedinečné.

Takže kdykoli se můžete množit , můžete zkontrolovat, zda existuje inverzní. Existují případy, kdy neexistuje žádná jedinečná inverze, ale pokud existuje, můžete to nazvat dělení. Vektory nejsou úplně na jedné nebo druhé straně - obvykle najdete sadu vektorů, pro které má určité rozdělení smysl.

Předpokládejme, že vezmeme $ A = TB $ , kde $ A $ a $ B $ jsou vektory a $ T $ je tenzor. Nyní, pokud je zadáno $ A $ a $ B $ a je možné vektorové rozdělení, můžeme najít hodnotu $ T $ . Vezmeme-li jednoduchý příklad $ A = (a_1, a_2, a_3) $ , $ B = (b_1, b_2, b_3) $ span > a $ T $ je matice 3x3: $$ T = \ left (\ begin {matrix} t_ {11} & t_ {12} & t_ {13} \\ t_ {21} & t_ {22} & t_ { 23} \\ t_ {31} & t_ {32} & t_ {33} \ end {matrix} \ right) $$ Nyní z výše uvedeného vztahu dostaneme tři rovnice s devíti neznámými, které nikdy neposkytují jedinečné řešení , takže můžeme říci, že vektorové dělení není možné, pokud nebudeme brát $ A $ a $ B $ jako paralelní a $ T $ jako skalární.

Podle stránky Wolfram Mathworld

Obecně neexistuje žádné jedinečné maticové řešení maticové rovnice $$ \ mathbf y = \ mathbb A \ mathbf x $$

Potom je uveden příklad pro $ \ mathbf y = 2 \ mathbf x = (2,4) $, ve kterém jsou 3 různá řešení.