Nejprve varování: Nevím moc ani o algebraické topologii, ani o využití fyziky, ale vím o některých místech, takže doufám, že vám to bude užitečné.

Topologické vady v prostoru

Standardní (ale velmi pěkný) příklad je Aharonov-Bohmův efekt, který zohledňuje solenoid a nabitou částici. Při idealizaci situace nechte solenoid nekonečný, abyste získali $ {\ mathbb R} ^ 3 $ s odstraněným řádkem.

Protože částice je nabitá, transformuje se podle teorie měřidla $ U (1) $ . Přesněji řečeno, jeho fáze bude paralelně transportována po jeho cestě. Pokud dráha uzavírá solenoid, bude fáze netriviální, zatímco pokud ji neuzavírá, bude fáze nulová. Důvodem je, že $$ \ phi \ propto \ mast _ {\ částečné S} {\ mathbf A} \ cdot d {\ mathbf x} = \ int_S \ nabla \ times {\ mathbf A } \ cdot d {\ mathbf S} = \ int_S {\ mathbf B} \ cdot d {\ mathbf S} $$ a všimněte si, že $ \ mathbf B $ mizí mimo solenoid.

Pointa spočívá v tom, že kvůli výše uvedenému argumentu je fázový faktor topologický invariant pro cesty, které procházejí mezi dvěma pevnými body. To tedy způsobí interference mezi topologicky odlišitelnými cestami (které mohou mít odlišný fázový faktor).

Instantony

Jedno místo, kde se objeví homotopy, jsou Instantony v teoriích měřidel.

Konkrétně, pokud vezmete v úvahu teorii Yang-mills v $ {\ mathbb R} ^ 4 $ (znamená to tedy euklidovský čas ) a chcete, aby řešení (což je spojení) mělo konečnou energii, pak musí jeho zakřivení zmizet v nekonečnu. To vám umožní omezit vaši pozornost na $ S ^ 3 $ (odtud pochází termín instanton; je lokalizován) a odtud vstupuje homotopy, aby vám řekla o topologicky nerovnoměrných způsobech, jak se může pole zalomit kolem $ S ^ 3 $ . Věci, jako jsou tyto, jsou v moderní fyzice (jak QCD, tak teorie strun) opravdu velké, protože vám instantony dávají způsob, jak hovořit o neporušujících jevech v QFT. Ale obávám se, že vám nemohu říct nic víc než tohle. (Doufám, že si tyto věci ještě více prostuduji).

TQFT

Poslední bod (o kterém vím téměř nic) se týká Topologická kvantová teorie pole jako Chern-Simonsova teorie. Ty opět vznikají v teorii strun (stejně jako celá moderní matematika). A znovu je mi líto, že vám zatím nemohu říci víc.

Fermionoví operátoři se řídí $ b ^ 2 ~ = ~ {b ^ \ dagger} ^ 2 $ $ = ~ 0 $. Toto je forma pravidla d ^ 2 = 0. Supersymetrie umožňuje kohomologii stavů $ \ psi ~ \ in ~ ker (Q) / im (Q) $, což je kohomologie. $ Q $ se řídí $ Q ^ 2 ~ = ~ 0 $, fyzické stavy poslouchají $ Q \ psi ~ = ~ 0 $, ale kde $ \ psi ~ \ ne ~ Q \ chi $. To je základ kvantifikace BRST (Becchi, Rouet, Stora a Tyutin).

Sean ,

omlouvám se, že reaguji na starou otázku, ale mám velmi pěkný příklad aplikace pokročilé algebraické topologie ve fyzice (je to fyzika viděná v experimentech, ne libovolné spekulativní teorie). Jedná se o nově objevené „topologické izolátory“.

Jeden může topologicky klasifikovat bezplatné hamiltoniány (hermitovské matice / operátory) jako funkci různých tříd symetrie a prostorové dimenze. Ukázalo se, že to lze provést pomocí topologické K-teorie (viz periodická tabulka v http://arxiv.org/abs/1002.3895; tabulka 1 na straně 8). Existuje dvojí periodicita v symetrických třídách a dimenzích, vycházející z Bottovy periodicity komplexní K-teorie (klasifikace komplexních vektorových svazků až po stabilní ekvivalenci). A v ostatních třídách symetrie je osminásobná periodicita pocházející z Bottovy periodicity skutečné teorie K. Další informace naleznete zde: http://arxiv.org/abs/0901.2686 a http://iopscience.iop.org/1367-2630/12/6/065010 (volný přístup pro oba).

Dále musím zmínit, že třídy 10 symetrie matematicky pocházejí z Cartansovy klasifikace symetrických prostorů a popisky ve výše uvedené tabulce vycházejí z této klasifikace.

(Právě jsem viděl, že topologické izolátory byly zmíněny výše, ale ne tyto aspekty).

Marek a Eric dali dobré odpovědi. Myslím, že mnoho fyziků částic se poprvé setkalo s teorií homotopy v kontextu magnetických monopolů. Vezměte skupinu měřidel standardního modelu $ H = SU (3) \ krát SU (2) \ krát U (1) $ a vložte ji do skupiny měřidel GUT $ G $, jako je $ SU (5) $ nebo $ SO (10 ) $. Za předpokladu, že nedojde k náhodné degeneraci, je prostor minim minima prolomení symetrie coset $ G / H $. Konfigurace statické, konečné energie se musí přiblížit k bodu v $ G / H $ v prostorové nekonečnosti, a proto jsou klasifikovány pomocí $ \ pi_2 (G / H) $ což se rovná $ \ pi_1 (H) $ za předpokladu, že $ \ pi_1 (G) = 0 $ . Protože $ \ pi_1 (H) = \ mathbb {Z} $ existuje celočíselný topologický náboj pro tyto konfigurace, což se ukazuje jako magnetický monopolní náboj. Přednášky Sidneyho Colemansa ( http://ccdb4fs.kek.jp/cgi-bin/img/allpdf?198211084) to vysvětlují mnohem podrobněji. Systémy kondenzovaných látek mají mnohem širší rozsah „Higgsových“ polí (tj. Parametry objednávky), a proto mají mnohem zajímavější a komplikovanější vzory porušování symetrie a mnohem bohatší klasifikaci topologických defektů homotopyovými skupinami. Mermin má velmi pěknou recenzi zde: http://rmp.aps.org/abstract/RMP/v51/i3/p591_1.

Dalším zábavným příkladem topologie aplikované na fyziku je Wittenův trik cohomologické teorie pole. Matematici to obvykle považují za způsob vytváření nových domněnek o topologii moduli prostorů. Fyzici to považují za způsob, jak pomocí topologie prostorů modulů provádět omezené kontroly platnosti dohadů fyziky.

Myšlenka je, že v některých supersymetrických teoriích můžete porovnat korelační funkce některých pozorovatelných ve fyzikální teorii s korelačními funkcemi pozorovatelných v topologicky zkroucené verzi fyzikální teorie. Příslušné integrály cesty v topologické teorii se „lokalizují“ k integrálům diferenciálních forem v modulových prostorech řešení okamžitých rovnic vložených do prostoru polí. To je pozoruhodné: míra definovaná v nekonečně-dimenzionálním prostoru distribucí končí tím, že je podporována v prostoru konečně-dimenzionálních modulů, který leží v něm, zázračné zrušení. Tyto integrály jsou „jen“ průniková čísla, takže „hurá! můžeme provést přesný výpočet v původní fyzikální teorii! '. Většinou jsou tyto korelační funkce „chráněny“, jako BPS invarianty; díky určité symetrii je jejich chování velmi pravidelné.

V detailech lokalizace se objevuje spousta zajímavé matematiky. Například věty o indexu se zobrazí, když počítáte fermionové nulové režimy, abyste zjistili rozměr lokalizovaného prostoru.

Hledám podobné příklady. Uvedené příklady jsou dobré - chci jen přidat ještě jeden, který jsem nedávno objevil: Topologické izolátory

Následující tři články o fyzice.stackexchange:

(1) Sladění topologických izolátorů a topologického řádu

(2) Skupinová kohomologie a Topologické polní teorie

(3) Obsahují teorie kategorií a / nebo kvantová logika hodnotu ve fyzice?

obsahují příklady aplikací algebraiky Topologie k fyzice.

Všechny Marekovy příklady jsou dobré. (Musel jsem napsat novou odpověď kvůli prostorovým omezením komentářů.) Instantony jsou pravděpodobně jediným nejlepším místem k prozkoumání tohoto vztahu. Maxwellovy rovnice ve vakuu četly dF = 0 a d * F = 0, kde F je tenzor intenzity pole. Poplatek částice (podle Gaussova zákona) lze získat výpočtem integrálu * F na okolní sféře, zatímco magnetický náboj (vždy nula, protože jsme dosud spolehlivě nepozorovali magnetické monopoly) je integrálem F Pokud nyní studujete algebraickou topologii, F je Chernova forma spojení definovaná polem měřidla (vektorový potenciál), konkrétně představuje první Chernovu třídu tohoto svazku. Toto je ukázkový příklad toho, jak se charakteristická třída - která měří topologický typ svazku - ve fyzice jeví jako kvantové číslo, magnetický náboj.

Ve skutečnosti v kvantové teorii pole máme pokyn integrovat přes VŠECHNA připojení, včetně těch pro různé topologické typy svazků - takže konfigurační prostor má různé komponenty. Konfigurace minimální (euklidovské) energie v těchto různých složkách se nazývají „instantony“.

Existuje mnoho dalších příkladů, které zahrnují mírně exotické teorie fyziky.

Twistorova teorie používá svahovou kohomologii, viz např. Jemné seznámení s twistory.

A samotná teorie twistoru má aplikace na poruchovou teorii kvantového pole (amplitudy MHV).