Beru cestu Cliffordovy algebry, jak zdůraznili uživatelé, kteří nejsou uživateli38741 a Giorgio Comitini, ale pokusím se intuitivně zdůvodnit, jak tam skončit a jak se zákon transformace spinoru jeví jako nevyhnutelný. Začnu tedy geometrickou algebrou, což je jednoduše jiný název pro Cliffordovu algebru, když se používá ve fyzice, a vektory jsou považovány za prvky samotné algebry (tj. Neukládáme samostatnou maticovou algebru). Vezměte tedy $ \ mathbb {R} ^ {n, m} $ s vnitřním produktem $ < \ cdot, \ cdot> $ a definujte geometrickou algebru $ \ mathcal {G} (\ mathbb {R} ^ {n, m}) $ jako nejsvobodnější asociativní algebru $ \ mathbb {R} ^ {n, m} $ což vyhovuje
\ begin {rovnice}
v ^ 2 = <v, v>,
\ end {rovnice}
kde čtverec je samozřejmě množení algebry. Násobení v této algebře budeme nazývat geometrický součin .
Je pravda, že to zavádí další prostor, ale to je extrémně přirozené: prvky geometrické algebry lze interpretovat tak, že se skládají ze skalárů, vektorů $ \ mathbb {R} ^ {n, m} $ , bivektory $ u \ wedge v $ kde $ u $ a $ v $ jsou vektory a $ u \ wedge v: = \ frac {1} {2} (uv - vu) $ , 3-vektory $ u \ wedge v \ wedge w $ atd., až (n + m) -vektorů. Vektory $ n $ lze interpretovat jako prvky směrované oblasti / objemu / n-objemu. Náladový úvod najdete v „Imaginární čísla nejsou skutečná“ nebo jako důkladný úvod buď Hestenesova „Cliffordova algebra k Geometrickému kalkulu“ nebo Doran a Lasenbyho Geometrická algebra pro fyziky.
Nyní se ukazuje, že rotace vektoru $ v $ v rovině definované jednoduchým bivektorem $ \ omega $ od $ | \ omega | $ radiány (kde absolutní hodnota je $ \ sqrt {- \ omega ^ 2} $ , protože čtverec $ \ omega $ je záporný) lze vyjádřit geometrickou algebrou (GA) jako
\ begin {rovnice}
v \ mapsto \ exp (\ omega) v \ exp (- \ omega),
\ end {rovnice}
kde exponenciál je definován obvyklou výkonovou řadou, přičemž násobením je geometrický součin a jednoduchý bivektor je bivektor, který lze zapsat jako klínový součin $ a \ wedge b $ pro některé vektory $ a, b $ . Obecná rotace je pak dána stejným vzorcem, ale $ \ omega $ nemusí být nutně jednoduchý (tj. Může to být součet několika jednoduchých bivektorů) . Výsledek exponenciálu je pak v sudé subalgebře , tj. Je sestaven z objektů, které lze vyjádřit jako součet produktů sudého počtu vektorových faktorů. Výsledek umocňování nazýváme rotor a často označujeme $ R = \ exp (\ omega) $ . Potom lze objekt na pravé straně transformace také zapsat jako $ \ tilde {R} $ , kde tilda označuje reverzi , což jednoduše znamená vzít každý faktor do geometrického součinu a obrátit jejich pořadí. Dále $ R \ tilde {R} = 1 $ , když je $ R $ rotor.
Objeví se první záblesk spinorového zákona transformace: obecně můžeme všechny prvky prostoru otáčet výše uvedeným oboustranným zákonem rotace a nic se nezmění. Pokud však reprezentujeme rotace rotorem $ \ exp (\ omega) $ , pak složení rotací je dáno $ \ exp (\ omega_1) \ exp (\ omega_2) $ , což je také rotor.
Nyní se zaměřme konkrétně na $ \ mathbb {R} ^ {1, 3} $ . Pak můžeme napsat bezplatnou Diracovu rovnici jako
\ begin {rovnice}
\ nabla \ psi I_3 + m \ psi = 0,
\ end {rovnice}
kde $ \ nabla $ je vektorový derivát $ \ nabla = e ^ \ mu \ partial_ \ mu $ a $ e ^ \ mu $ jsou základní vektory působící prostřednictvím geometrického součinu (takže $ \ nabla $ je algebraicky vektor). Pole Dirac $ \ psi $ nabývá hodnot v sudé subalgebře geometrické algebry. $ I_3 $ je tři vektor, který vypadá, že vybírá preferovaný úsek časoprostoru, a proto rozbíjí Lorenzovu invariance. Zvažte však jinou volbu, kterou nabízí $ I'_3 = R I_3 \ tilde {R} $ . Pak je odpovídající nová Diracova rovnice
\ begin {rovnice}
\ nabla \ psi 'R I_3 \ tilde {R} + m \ psi' = 0.
\ end {rovnice}
Pokud nyní $ \ psi $ vyřeší původní Diracovu rovnici, pak jasně $ \ psi '= \ psi \ tilde {R} $ řeší tuto novou rovnici pomocí $ I_3 '$ . Jinými slovy, když se objekt $ I_3 $ transformuje jako (tři) vektor pod rotací, pak $ \ psi $ se transformuje jako spinor a objevil se zákon transformace.
Pak si všimněte, že fyzikální předpovědi teorie závisí pouze na Diracových bilinearech, které lze v tomto jazyce zapsat analogicky k
\ begin {rovnice}
\ psi I_3 \ tilda {\ psi},
\ end {rovnice}
a že když se $ I_3 $ transformuje jako tři vektory a $ \ psi $ jako spinor, fyzické předpovědi zůstávají nezměněny. Jinými slovy, je zde vyžadován zákon pro transformaci spinoru, aby byly fyzikální předpovědi teorie nezávislé na výběru směrovaného objemového prvku $ I_3 $ .
Ve skutečnosti existuje přirozená interpretace objektu $ \ psi $ jako produktu rotoru, škálování a transformace mezi skaláry a pseudoskaláři ve třídě $ \ mathbb {R} ^ {1,3} $ . Tímto způsobem se zákon transformace spinoru jeví přirozeně jako složení rotorů (nebo objektů podobných rotoru). Samozřejmě, protože v jazyce geometrické algebry neexistuje léčba kvantové teorie pole, není jasné, jak daleko nebo vážně to lze brát jako interpretaci fyzické Diracovy rovnice, ale přesto poskytuje alespoň příklad, kde se spinory objevují přirozeně , aniž by byl ručně uložen zákon o transformaci. Spíše pochází z transformací řešení Diracova rovnice, když se volba konstanty $ I_3 $ transformuje rotací.
Jsem si jistý, že tento krátký úvod do tématu ponechává mnoho otázek nezodpovězených a může to být trochu matoucí, ale pokud bych vzbudil váš zájem, doporučuji vám následovat některé odkazy zde a pokračovat tímto způsobem.