Vaše „rozměry“ nejsou zcela „správné“. Výpočet by měl být něco jako $ 10 ^ {7} \ frac {\ hbox {atomy}} {\ hbox {řádek}} \ krát 2 \ krát 10 ^ 7 \ hbox {řádek} = 2 \ krát 10 ^ {14} $ atomy. Ve skutečnosti jsou atomy objekty, které se mají počítat a přidávat, jako auta nebo hrušky.

Věřím, že si z matematického kurzu pamatuji, že Řekové nemohli (zjevně) abstraktní čísla, a tak by si vždy mysleli na „$ 5 $“ jako na objekty: $ 5 $ jablka, $ 5 $ oblázky atd. Můžete tedy přidat jablka: $ 5 $ jablka + $ 5 $ jablka + $ 5 $ jablka je $ 15 $ jablka.

Násobení bylo jiné a považovalo se to za geometrickou operaci. Obdélník stran $ 3 $ m a $ 4 $ m měl plochu $ 3 \ krát 4 = 12 \ hbox {m} ^ 2 $.

Ve výsledku (zjevně) nikdy „neobjevili“ obecný abstraktní výsledek, že $ a \ times b = b + b + b \ ldots $ ($ a $ times), protože tyto dvě operace byly v určitém smyslu „nekompatibilní“ ". Jelikož navíc žijeme v $ \ mathbb {R} ^ 3 $, nemělo smysl jim vynásobit více než $ 3 $ čísel dohromady.

OP by také chtěl přirovnat dvě „nekompatibilní“ operace (ve smyslu Řeků), jejichž výsledek se numericky shoduje, protože je třeba spíše součet všech atomů všech řádků, než „znásobení“ atomů dohromady.

Bohužel nemohu najít zdroj, který by to potvrdil.

Neexistuje žádná taková jednotka jako atom $ ^ 2 $.

Počítáte počet objektů (atomů), a tak přidáváte

$ 10 ^ {7} \, \ rm atomy \, + 10 ^ {7} \, \ rm atomy \, + 10 ^ {7} \, \ rm atomy \, + 10 ^ {7} \, \rm atomy \, +.....+ 10 ^ {7} \, \ rm atomů \, $

s výrazy $ 2 * 10 ^ {7} $ v součtu a toto napíšete do zkratky jako

$ (10 ^ {7} * 2 * 10 ^ {7}) \, \ rm atomy = 2 * 10 ^ {14} \, atomy $.

Atomy nejsou ve skutečnosti jednotkou. Když se množíte, nekombinují se správným způsobem. Pokud jste opatrní, můžete je v některých situacích nechat fungovat, jak ukazují obě ostatní odpovědi (+1 k oběma).

Ale jak jste viděli, nefungují všude. Ne jako by to byla délka. Pokud je vzdálenost od atomu k atomu 1 Angstrom, není problém s oblastí $ 10 ^ {14} $ Angstrom $ ^ 2 $.

Takže co je jednotka? Počet je bezrozměrný.

I přesto ji lidé často používají jako jednotku, kde funguje. Musíte jen dávat pozor, abyste jej nepoužívali tam, kde není.

Fyzici jsou někdy takoví nedbalí, když jsou matematici mnohem opatrnější. Například funkce může mít na většině míst hodnotu $ 0 $, ale má vysoký tenký hrot blízko $ 0 $, takže oblast pod hrotem je 1. To je v některých situacích užitečné. Fyzici zjistili, že potřebují, aby byl hrot nekonečně úzký. Vytvořili tedy delta funkci Dirac, která je všude kromě $ 0 $ $ 0 $. Hodnota na $ 0 $ je nekonečná. Plocha pod bodcem je $ 1 $.

Matematik by s takovou „funkcí“ narazil na problémy a řekl by, že neexistuje. Fyzik je opatrný, aby jej použil tam, kde to funguje.

Vaše jednotky nejsou atomy, ale šířky ohraničující atomy;čtverec šířky atomových ohraničení přirozeně přichází v jednotkách oblastí ohraničujících atomy.

Ve vašem výpočtu není správné, že jste dimenzi nahradili „count“.
Správný způsob, jak to udělat, by bylo určit délku $ 10 ^ 7 $ atomů.Za předpokladu, že zaberou 1 cm, pak $ 1 cm ^ 2 $ bude mít $ 1 x 10 ^ {14} $ atomů a the sheet (1 cm na 2 cm, nebo 2 $ cm ^ 2 $) by obsahovaly ($ 1x10 ^ {14} $atomy / $ cm ^ 2 $ x 2 $ cm ^ 2 $ =) $ 2x10 ^ {14} $ atomy.