Věta Schmeorem. Galileanův invariantní Lagrangian pro libovolný počet klasických částic interagujících s potenciálem:

$$ S = \ int \ sum_k {m_k (\ dot {x} _k-u) ^ 2 \ přes 2} + \ lambda \ dot {u} - U (x_k) \; \; \; dt $$

Pro jakýkoli Galileanův invariantní Lagrangian $ L (\ dot {x} _k, x_k) $, Lagrangeův

$$ L '(\ dot {x} _k, x_k, \ lambda, u) = L (\ dot {x} _k-u, x_k) + \ lambda \ dot {u} $$

je výslovně galilejský invariant a má stejnou dynamiku (za předpokladu původní Lagrangian byl Galilean invariant).

Galilean vlastnosti x jsou jako obvykle. Dynamické proměnné se rozšiřují o $ \ lambda, u $, které fungují jako Lagrangeovy multiplikátory. Zákon transformace pro u a $ \ lambda $ jsou:

$ x \ rightarrow x-vt $

$ u \ rightarrow uv $

$ \ lambda \ rightarrow \ lambda $

A je triviální ověřit, zda je nový Lagrangian zcela neměnný. Pohybová rovnice pro $ \ lambda $ právě dělá $ u $ konstantní, rovnající se $ u_0 $, zatímco pohybová rovnice pro $ u $ se integruje do

$$ \ lambda = - \ sum_k m_k x_k - M u_0 t $$

až po aditivní konstantu, kterou jsem nastavil na nulu. Toto jsou téměř všechny pohybové rovnice, ale existuje ještě jedna rovnice, která pochází z extremizace akce s ohledem na $ u_0 $, která stanoví

$$ u_0 = \ sum_k m_k \ dot {x} _k $$

Kde není důležitý čas, protože toto je těžiště rychlosti hmoty, které je zachováno. Noetherův předpis ve výslovně Galileanově invariantní akci je triviální --- konzervované množství spojené s Galileanovými boosty je jen $ \ lambda $, a to je skutečně těžiště.

Proč to funguje

Pokud integrujete kinetickou energii pro obvyklou akci volných částic po částech, získáte:

$$ S = \ int \ sum_k m \ ddot {x} _k x_k + U (x_k ) dt $$

Tato akce má galilejský invariant na masovém prostředí, což znamená, že negalilská invariantní část je nulová, když vynucujete pohybové rovnice. To znamená, že přidání některých dalších nedynamických polí by mělo vytvořit Galileanovu invariantní akci mimo prostředí, a to je $ \ lambda, u $.

Vztah k Lorentzovým transformacím

Když provedete Lorentzova transformace, akce částice arclength je neměnná. Pokud ale opravíte počátek Lorentzovy transformace v počátečním čase, výsledný čas se transformuje, takže cesta již po transformaci nebude směřovat do stejného konečného času. Když vezmete nerelativistický limit, výsledný čas se s počátečním časem zvrhne, ale akční náklady z posunutí konečného času se nepřiblíží nule.

To znamená, že potřebujete extra proměnnou stopa nekonečně malého bitu posledního času a to, že tato extra proměnná bude podle Galileanových transformací potřebovat netriviální zákon transformace.

Chcete-li zjistit, co by tato nová proměnná měla být, je vždy nejlepší zvážit analogickou věc pro rotační invariance. Zvažte strunu pod napětím s malými odchylkami od horizontály a nechte odchylku struny od horizontály h (t). Rotačně neměnná potenciální energie je arclength řetězce

$$ U = \ int \ sqrt {1 + h '^ 2} dx $$

a toto je potenciální energie což dává rotačně neměnný analog vlnové rovnice. Jakmile přejdete na malé odchylky, expanze pro U dává obvyklou potenciální energii vlnovnice

$$ U (h) = \ int {1 \ přes 2} h '^ 2 dx $$

a toto již není rotačně neměnné. Je však invariantní zkosení, což znamená, že přidání konstantní přímky sklonu k h energii nezmění. Až na to, že to dělá, dokonalým derivátem:

$$ U (h + ax) = \ int {1 \ nad 2} h '^ 2 + ah' + {a ^ 2 \ nad 2} dx $$

Toto je zjevně stejná přesná situace jako u Lorentzovy invariance, která se změnila na Galileanovu invariantu, s výjimkou použití rotační invariance, kde je intuice každého člověka pevná. Další energie $ a ^ 2 \ nad 2 $ je způsobena kvadratickou extra délkou otočeného řetězce, zatímco lineární dokonalá derivace $ ah '$ se integruje do $ a (h_f - h_i) $, a to je velikost redukce / zvětšení délky, když otočíte nakloněný řetězec.

Chcete-li tedy získat potenciální energii plně nakloněnou invariantní, musíte přidat proměnnou $ u $, která je dynamicky omezena tak, aby se rovnala celkovému naklonění řetězce . Tato proměnná bude rozlišovat mezi různými otočenými verzemi řetězce: samotné otáčení řetězce bez otáčení průměrné proměnné naklonění změní energii - je to proto, že naklonění vodorovného řetězce mezi 0 a A není úplně stejné jako pre- nakloněný řetězec mezi 0 a A, má předem nakloněný řetězec jinou délku. Samotné otáčení celkového náklonu změní energii, ale rotace obou nic neudělá, a to je kódování rotativní invariance.

Takže potřebujete průměrnou proměnnou náklonu, aby se explicitní rotační invariance změnila na explicitní invenční invenci. Celková potenciální energie je pak dána odchylkami od průměrného náklonu:

$$ U = \ int {1 \ over 2} (h'-u) ^ 2 dx $$

a u se transformuje jako $ ua $ pod náklonem o. Díky tomu je potenciální energie neměnná.

Kinetická energie je dána časovou závislostí h a musí existovat Lagrangeův multiplikátor, který zajistí, že celkový náklon se bude rovnat průměrnému náklonu

$$ S = \ int {1 \ nad 2} \ tečka h ^ 2 - {1 \ nad 2} (h'-u) ^ 2 + \ beta (u - h ') dt dx $$

Kde $ \ beta $ je globální v x Lagrangeově multiplikátoru pro u, nutí jej, aby se rovnal h '. Neubližuje však tomu, aby se u lišilo v x, pokud Lagrangeův multiplikátor vynutí, že je konstantní. Způsob, jak toho dosáhnout, je změnit Lagrangeův multiplikační výraz na

$$ - \ int \ lambda '(u (x) - h' (x)) dx = \ int \ lambda (u '(x) - h' (x)) $$

Ale pak pohybová rovnice zabije druhý člen, takže potřebujete pouze Lagrangeův multiplikátor:

$$ \ int \ lambda u '(x) $$

A pohybové rovnice automaticky omezují u na průměrný sklon. Tyto manipulace mají v Lorentzových transformacích přesné analogy a vysvětlují vztah výslovně Galileanovy invariantní akce k Lorentzově akci. Analog průměrného sklonu je středem rychlosti hmoty.

Zde bych chtěl rozšířit některé argumenty uvedené v inspirativní odpovědi Rona Maimona. Zvažte $ N $ bodové částice s pozicemi $ {\ bf r} _1, \ ldots, {\ bf r} _N $. Galilejská transformační skupina je například vysvětlena zde. Jedinou transformací, kterou se budeme od nynějška explicitně zmiňovat, je smyková transformace

$$ t \ longrightarrow t, \ qquad {\ bf r} _i \ longrightarrow {\ bf r} _i- {\ bf v} t, $$

kde $ {\ bf v} $ je relativní konstantní rychlost dvou referenčních rámců.

1 ) Začněme od zjevně galilejské invariantní lagranštiny

$$ L_1 = \ sum_ {i = 1} ^ {N} \ frac {m_i} {2} (\ dot {\ bf r} _i- {\ bf u}) ^ 2 + {\ bf \ lambda} \ cdot \ dot {\ bf u} - V, \ qquad V: = \ sum_ {1 \ leq i<j \ leq N} V_ {ij} (| { \ bf r} _i - {\ bf r} _j |), $$

kde $ {\ bf u} = {\ bf u} (t) $ a $ {\ bf \ lambda} = {\ bf \ lambda} (t) $ jsou kanonickou dvojicí dalších proměnných. Galilean transformace čte

$$ t \ longrightarrow t, \ qquad {\ bf r} _i \ longrightarrow {\ bf r} _i- {\ bf v} t, \ qquad {\ bf u} \ longrightarrow {\ bf u} - {\ bf v}, \ qquad {\ bf \ lambda} \ longrightarrow {\ bf \ lambda}. $$

2) Dále pojďme integrovat Lagrangeův multiplikátor $ {\ bf \ lambda} $. Pohybová rovnice (= eom) pro $ {\ bf \ lambda} $ je $ \ dot {\ bf u} \ přibližně 0 $. (Znaménko $ \ cca $ znamená v této odpovědi rovná modulo eom. ) Toto ponechává nulový režim $ {\ bf u} _0 $, který je nezávislý na $ t $. Nová lagranština

$$ L_2 = \ sum_ {i = 1} ^ {N} \ frac {m_i} {2} (\ dot {\ bf r} _i - {\ bf u} _0) ^ 2- V $$

je stále zjevně galilejský invariant. Galilean transformace čte

$$ t \ longrightarrow t, \ qquad {\ bf r} _i \ longrightarrow {\ bf r} _i- {\ bf v} t, \ qquad {\ bf u} _0 \ longrightarrow {\ bf u} _0 - {\ bf v}. $$

Eom pro $ {\ bf r} _i $ jsou Newtonovým druhým zákonem, jak by měl být:

$$ m_i \ ddot {\ bf r} _i \ cca - \ nabla_i V, \ qquad i = 1, \ ldots, N. $$

Došli jsme k závěru, že

Dva Lagrangians $ L_1 $ a $ L_2 $ jsou kladné odpovědi na otázku OP (v1).

3) Nakonec integrujme nulový režim $ {\ bf u} _0 $. Eom pro $ {\ bf u} _0 $ čte

$$ {\ bf u} _0 \ cca \ frac {\ sum_ {i = 1} ^ {N} m_i \ dot {\ bf r } _i} {M}, \ qquad M: = \ sum_ {i = 1} ^ {N} m_i. $$

Nová lagranština

$$ L_3 = \ sum_ {i = 1} ^ {N} \ frac {m_i} {2} \ left (\ dot {\ bf r} _i- \ frac {\ sum_ {j = 1} ^ {N} m_j \ dot {\ bf r} _j} {M} \ right) ^ 2- V $$

je stále zjevně Galilean invariant. Eom pro $ {\ bf r} _i $ jsou Newtonovým druhým zákonem s těžištěm:

$$ m_i \ ddot {\ bf r} _i- \ frac {m_i} {M} \ sum_ {j = 1} ^ {N} m_j \ ddot {\ bf r} _j \ cca - \ nabla_i V, \ qquad i = 1, \ ldots, N. $$

Toto je stále v souladu s druhým Newtonovým zákonem, protože víme, že těžiště (= CM) izolovaného systému musí mít nulové zrychlení:

$$ \ ddot {\ bf r} _ {CM} = \ frac {\ sum_ {j = 1} ^ {N} m_j \ ddot {\ bf r} _j} {M} \ přibližně {\ bf 0}. $$

Ale $ L_3 $ ne produkují tyto 3 eom, které určují pohyb CM. Dospěli jsme k závěru, že

Lagrangian $ L_3 $ není odpovědí na otázku OP (v1).

Toto je obzvláště jasné, pokud zvolíme pouze jednu částici $ N = 1 $. Potom Lagrangeovo $ L_3 $ zmizí shodně $ L_3 = 0 $.

Odpověď je záporná. U galilejské skupiny nedochází k žádné akci invariantu volných částic. V následujícím bude podáno heuristické vysvětlení a navíc odkaz, kde bude poskytnut podrobnější důkaz.

Základním důvodem je, že Galileovu skupinu nelze realizovat na Poissonově algebře funkcí ve fázovém prostoru volné částice $ T ^ {*} \ mathbb {R} ^ 3 $ (vybavené kanonickou symplektickou formou). Je to pouze jeho centrální rozšíření (viz následující stránka Wikipedie), které lze realizovat pomocí Poissonových závorek. U tohoto centrálního rozšíření jsou Poissonovy závorky mezi generátory boostů $ B_i $ a překlady (tj. složky hybnosti) $ P_i $ již nezmizí, ale závisí na hmotnosti částice:

$ \ {B_i, P_j \} = m \ delta_ {ij} $.

Protože zesílení musí generovat transformaci: $ P_i \ rightarrow P_i + m v_i $ na souřadnicích hybnosti prostřednictvím kanonických Poissonových závorek, generátory Boost musí být realizovány jako násobky polohových souřadnic $ Q_i $.

$ B_i = m Q_i $

Transformační zákon Boostů ve fázovém prostoru (což je rozmanitost počátečních dat, takže tato realizace nezahrnuje čas):

$ Q_i \ rightarrow Q_i $

$ P_i \ rightarrow P_i + m v_i $

$ H (\ vec {P}) \ rightarrow H (\ vec {P} + m \ vec {v}) - \ vec {P}. \ Vec {v} - \ frac {1} {2} mv ^ 2 $

Je snadné ověřit, že zdarma pa Článek Hamiltonian je neměnný a jeho transformace splňuje zákon o skupině. Ale tato realizace stále nedělá lagraniánský $ L = \ vec {P}. \ Dot {\ vec {Q}} - H $ invariantní, protože forma Cartan-Poincare: $ \ vec {P} .d \ vec { Q} $ není invariantní a mění se o celkovou derivaci: $ md \ vec {v}. \ Vec {Q} $. Existence hmoty tedy brání tomu, aby akce byla neměnná, a to kvůli kanonické Poissonově závorce a ne kvůli volbě dynamiky prostřednictvím konkrétní volby Hamiltonian.

Neinvariance formuláře Cartan-Poincare pod vylepšeními se označuje jako neekvivariance map hybnosti spojených s Boosty, což naznačuje, že nemůžeme předefinovat generátory skupiny, takže Poissonova závorka mezi Boosty a generátory překladu zmizí . Podrobný důkaz naleznete na stránkách 430–433 a cvičení 12.4.6 v části „Úvod do mechaniky a symetrie“, autorů: Marsden a Ratiu.

Zde bychom chtěli rozšířit některé argumenty uvedené v inspirativní odpovědi Davida Bar Moshe. Zejména budeme tvrdit, že $ ^ 1 $

Přirozenou nerelativistickou Lieovou algebrou v newtonovské mechanice je Bargmannova algebra, nikoli galilejská algebra!

1. Vycházíme z relativistického hamiltonovského lagranžika $$ L_H ~ = ~ {\ bf p} \ cdot \ dot {\ bf x} - H, \ tag {1} $$ u částice s bezpáteřním bodem v $ n $ rozměrech časoprostoru ve statickém měřidle, srov. např. moje odpověď Phys.SE zde. Nechte Hamiltonian $ ^ 2 $ $$ \ begin {align} H ~: = ~ p ^ 0c-mc ^ 2 ~ \ stackrel {(3)} {\ cca} ~ & \ sqrt {{\ bf p } ^ 2c ^ 2 + m ^ 2c ^ 4} -mc ^ 2 \ cr & \ quad \ longrightarrow \ quad H _ {\ infty} ~: = ~ \ frac {{\ bf p} ^ 2} {2m} \ quad \ text {for} \ quad c \ to \ infty \ end {align} \ označit {2} $$ být kinetická energie, tj. energie $$ p ^ 0c ~ \ přibližně ~ \ sqrt {{\ bf p} ^ 2c ^ 2 + m ^ 2c ^ 4} \ tag {3} $$ minus zbytek energie $ mc ^ 2 $ . Pamatujte, že konstantní výraz $ mc ^ 2 $ v Lagrangian nemá vliv na Euler-Lagrangeovy rovnice (EL). Zajímá nás nerelativistický limit $ c \ to \ infty $ . Nerelativistický lagraniánský jazyk OP lze získat od nerelativistického hamiltonovského lagrangického jazyka (1) integrací $ 3 $ -momenta $ {\ bf p} $ , tj. Legendrovou transformací.

2. $ n (n \! - \! 1) / 2 $ generátory Lorentz jsou $$ J ^ {\ mu \ nu} ~ = ~ x ^ {\ mu} p ^ {\ nu} - x ^ {\ nu} p ^ {\ mu}, \ qquad \ mu, \ nu ~ \ in ~ \ {0,1,2, \ ldots, n \! - \! 1 \}. \ tag {4} $$ My máme $$ \ frac {p ^ 0} {c} \ quad \ stackrel {(3)} {\ longrightarrow} \ quad m \ quad \ text {for} \ quad c \ to \ infty. \ tag {5} $$ Generátory podpory $ n \! - \! 1 $ jsou $ ^ 3 $ $$ \ begin {align} B ^ i ~: = ~ \ frac {J ^ {0i}} {c} ~ \ stackrel {(4)} {=} ~ &tp ^ ix ^ i \ frac {p ^ 0} {c} \ cr & \ quad \ stackrel {(5)} {\ longrightarrow} \ quad B _ {\ infty} ^ i ~: = ~ tp ^ i-mx ^ i \ quad \ text {for} \ quad c \ to \ infty. \ end {align} \ tag {6} $$

3. Zvažte kanonické Poissonovy závorky $$ \ begin {align} \ {x ^ {\ mu}, x ^ {\ nu} \} ~ = ~ 0, & \ qquad \ {x ^ {\ mu}, p ^ {\ nu} \} ~ = ~ \ eta ^ {\ mu \ nu}, \ qquad \ {p ^ {\ mu} , p ^ {\ nu} \} ~ = ~ 0, \ cr & \ mu, \ nu ~ \ in ~ \ {0,1,2, \ ldots, n \! - \! 1 \}. \ end { align} \ tag {7} $$ Je dobře známo, že Poissonovy závorky generátorů Poincare $$ p ^ {\ mu}, J ^ {\ mu \ nu}, \ qquad \ mu, \ nu ~ \ in ~ \ {0,1,2, \ ldots, n \! - \! 1 \}. \ značka {8} $$ reprodukovat $ n $ -dimenzionální Poincare algebra $ iso (n \! - \! 1 , 1) $ . Hmotnost $ m $ má podle definice mizející Poissonovu závorku s jakýmkoli prvkem $$ \ {m, \ cdot \} ~ = ~ 0. \ označit {9} $$

4. Je snadné zkontrolovat, že Poissonova algebra s $ n (n \! + \! 1) / 2 \! + \! 1 $ span > generátory $$ H, p ^ i, J ^ {ij}, B ^ i, m, \ qquad i, j ~ \ in ~ \ {1,2, \ ldots, n \ ! - \! 1 \}, \ qquad c ~ < ~ \ infty, \ tag {10} $$ v nerelativistickém limitu $ c \ to \ infty $ se stává Bargmannovou algebrou $$ \ {B ^ i, H \} ~ \ stackrel {(2) + (6)} {=} ~ p ^ i, \ qquad \ {p ^ i, B ^ j \} ~ \ stackrel {(6) + (5)} {=} ~ m \ delta ^ {ij}, \ qquad \ ldots, \ tag {11} $$ tj. centrálně rozšířená galilejská algebra. [Elipsa $ \ ldots $ v ekv. (11) označuje další známé komutační vztahy, které zde nebudeme opakovat. Na rozdíl od ostatních generátorů (10) není hmotnost $ m $ funkcí času / dynamické proměnné.] Bargmannova algebra je Inonu-Wigner kontrakce ze dne $$ iso (n \! - \! 1,1) \ oplus u (1). \ tag {12} $$
   Zde $ iso (n \! - \! 1,1) $ je Poincare algebra (8), zatímco $ u (1) $ je algebra generovaná hromadným generátorem $ m $ , který patří do centra, srov. ekv. (9). Všimněte si, že Poissonovy závorky pro Bargmannovu algebru nadále platí, pokud místo toho použijeme nerelativistické výrazy $ H _ {\ infty} $ a $ B _ {\ infty} ^ i $ . Související argument viz také Ref. 1.

5. Ve zbytku této odpovědi budeme předpokládat, že $ c = \ infty $ . Jeden může zkontrolovat, že každý generátor Bargmann $ Q $ splňuje identitu mimo prostředí $$ \ {Q, H \} + \ frac {\ částečné Q} {\ částečné t} ~ = ~ 0. \ značka {13} $$ To znamená, že generátor Bargmann $ Q $ generuje nekonečně malou kázovou metodu $$ \ delta ~ = ~ \ {\ cdot, Q \} \ epsilon \ tag {14} $$ hamiltonovské lagrangeové (1), srov. moje odpověď Phys.SE zde.

6. Příklad. Generátory podpory $ B ^ i $ (6) generují nekonečně malé galilejské transformace. Jsou to kvazimymetrie $$ \ {L_H, B ^ i \} ~ \ stackrel {(1) + (6)} {=} ~ \ frac {df ^ i} {dt}, \ qquad f ^ i ~ = ~ mx ^ i, \ tag {15} $$ se sebou jako Noether poplatky: $$ Q ^ i ~ = ~ \ frac {\ částečné L_H} {\ částečné \ tečka {x} ^ j} \ {x ^ j, B ^ i \} -f ^ i ~ \ stackrel {(1) + (6) + (15)} {=} ~ tp ^ i-mx ^ i ~ \ stackrel {(6)} {=} ~ B ^ i. \ označit {16} $$

Odkazy:

1. R. Andringa, E. Bergshoeff, S. Panda & M. de Roo, Newtonova gravitace a Bargmannova algebra, arXiv: 1011.1145, s. 11.

-

$ ^ 1 $ Pro počáteční dotaz OP, zda je možné získat přísnou symetrii Lagrangian, spíše než pouze quasisymmetry, jsme viz další odpovědi.

$ ^ 2 $ Konvence &: Řecké indexy $ \ mu, \ nu = 0,1,2, \ ldots, n \! - \! 1 $ , označte indexy časoprostoru; zatímco římské indexy $ i, j = 1,2, \ ldots, n \! - \! 1 $ , (a tučně) označují prostorové indexy. Symbol $ \ přibližně $ označuje vztah na skořápce. Konvence znaménka Minkowski je $ (-, +, \ ldots, +) $ . A $ x ^ 0 \ equiv ct. $

$ ^ 3 $ Jak je obvyklé v kanonické kvantizaci, podmínka statického upevnění měřidla $ t = \ lambda $ (světové reparametrizační invariance) přerušení projevuje symetrii Poincare. Obnovovací kváziometrie se však obnoví v nerelativistickém limitu $ c \ to \ infty $ .