Ve skutečnosti se chová přesně jako kyvadlo. Pohybové rovnice jsou přesně stejné. Problém, jak zdůraznil Jasper, je tlumivý. Když přemýšlíte o „normálním“ kyvadle, uvažujete o lehce tlumeném oscilátoru. Balón, jak ukážu níže, je silně tlumený .
U tlumeného harmonického oscilátoru (k němuž se kyvadlo přibližuje pro malé výchylky) je obecná rovnice
$$ m \ ddot x + \ mu \ dot x + k \ cdot x = 0 $$
Kde $ x $ je výtlak, $ m $ je hmotnost, $ \ mu $ je koeficient odporu a $ k $ je koeficient „pružiny“.
Někdy je tato rovnice přepsána jako
$$ \ ddot x + 2 \ zeta \ omega_0 \ dot x + \ omega_0 ^ 2 x = 0 $$
Kde se $ \ zeta $ nazývá poměr tlumení , bezrozměrné číslo. - více o tom za minutu.
Řešení této rovnice závisí na stupni tlumení (velikost $ \ zeta $). Je dobře vidět, že
$$ \ omega_0 = \ sqrt {\ frac {k} {m}} $$ a $$ \ zeta = \ frac {\ mu} {2m \ omega_0} = \ frac {\ mu} {2 \ sqrt {mk}} $$
Vyřešíme to pomocí zkušebního řešení:
$$ x = A e ^ {\ gamma t } \\\ gamma ^ 2 + 2 \ zeta \ omega_0 \ gamma + \ omega_0 ^ 2 = 0 $$
což je rovnice se dvěma (komplexními) kořeny:
$ $ \ gamma = \ frac {-2 \ zeta \ omega_0 \ pm \ sqrt {4 \ zeta ^ 2 \ omega_0 ^ 2 - 4 \ omega_0 ^ 2}} {2} \\ = \ omega_0 (- \ zeta \ pm \ sqrt {\ zeta ^ 2-1}) $$
Když $ \ zeta \ gt 1 $ jsou kořeny skutečné a rovnice je overdamped oscilátor - což znamená že nikdy neciluje, jen se pomalu vrací do rovnovážné polohy:
$$ x (t) = A e ^ {\ gamma_ + t} + B e ^ {\ gamma_- t} $$
Kde $ \ gamma _ + $ a $ \ gamma _- $ jsou dva kořeny výše uvedené rovnice.
Zbývá jen dokázat, že u balónu je $ \ zeta \ gt 1 $.
Jelikož je balón naplněný heliem „lehčí než vzduch“, můžeme stanovit horní hranici odhadu hmotnosti z hmotnosti ekvivalentního tělesa vzduchu. U koule o průměru 25 cm je objem přibližně 8 litrů, takže hmotnost je < 8 gramů (1 kg / metr krychlový je pěkná aproximace hustoty vzduchu: je o něco vyšší, ale odhadujeme zde).
Dále si všimneme, že koule pohybující se médiem má zjevnou setrvačnost, která je vlastní setrvačností plus polovinu setrvačnosti posunutého média, takže přidáme 4 gramy za $ m = 12 \ text {g} $ - kromě toho, že balón je lehčí než vzduch, řekneme, že je $ 10 \ text {g} $ a počítáme s napětím v řetězci $ 2 \ text {g} = 0,02 \ N $ (předpokládáme bezhmotný řetězec ... )
Koeficient odporu koule ve vzduchu je funkcí Reynoldsova čísla. Pokud se koule pohybuje rychlostí 10 cm / s, spočítáme
$$ R = \ frac {DV \ rho} {\ mu} ~ 2000 $$
To znamená koeficient táhnout je 0,43 a tažná síla daná
$$ F = \ frac12 \ rho v ^ 2 A c_d $$
to není lineární s rychlostí, takže musíme udělejte další aproximaci, že průměrná rychlost koule během jejího pohybu je 5 cm / s - pak můžeme vypočítat $ \ zeta $ jako
$$ \ zeta = \ frac12 \ frac {\ rho v A c_d} {2 \ sqrt {mk}} $$
Nyní musíme převést efektivní vztlak na „pružinovou konstantu“ pomocí aproximace malého úhlu.
Pro kyvadlo délky $ l $ a (malé) vychýlení $ x $,
$$ F = \ frac {mgx} {l} \\ k = \ frac {mg} {l} $$
V tomto případě pro balón na provázku 40 cm se vztlakem 0,02 \ N $, $ k = \ frac {0,02} {0,4} = 0,05 N / m $
To nám dává
$$ \ zeta = \ frac {1 \ cdot 0,05 \ cdot 2000 \ cdot 0,43} {4 \ cdot \ sqrt {0,012 \ cdot 0,05}} \ přibližně 400 $$
Takže ano - $ \ zeta \ gt 1 $, které jsme se rozhodli dokázat ( quod erat demonstrandum ). Dospěli jsme k závěru, že se jedná o silně tlumený systém a řešením je pomalý návrat do rovnovážné polohy bez oscilace.
A to je vaše vysvětlení.